问答题
设x
1
＞0，x
n+1
=
，n=1，2，…，分别就a＜0，a=0，a＞0这三种情况讨论
，n=1，2，…，分别就a＜0，a=0，a＞0这三种情况讨论
【正确答案】
【答案解析】如果
存在，设
．则
，得方程
．
即A 2 =a．可见，必须a≥0，A=
．此时，数列{x
n
}必是正数列．
设函数
，则当x≥0时，|f(x)|≤1+
≤1+|1-a|．可见，f(x)是有界的，所以数列{x
n
)是有界的．
下面仅须讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛．
再由微分中值定理得
首先考虑，当0≤a＜1时，
，相邻两项之差是同号的．
因此，当x 2 ＞x 1 时，{x n }单调递增；当x 2 ＜x 1 时，{x n }单调递减．所以{x n }都收敛．
当a=1时，x n+1 -x n =0，这是常数数列，当然收敛．
当a＞1时，
，相邻两项之差是异号的．此时，可再运用一次中值定理
这说明数列{x 2n-1 )和{x 2n }是单调的，因此它们都收敛．
若设
，它们分别由方程
确定，并且两个方程有相同的正根
由此可知
综上，当a＜0时，
不存在，当a≥0时，
存在，设
．则
，得方程
．
即A 2 =a．可见，必须a≥0，A=
．此时，数列{x
n
}必是正数列．
设函数
，则当x≥0时，|f(x)|≤1+
≤1+|1-a|．可见，f(x)是有界的，所以数列{x
n
)是有界的．
下面仅须讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛．
再由微分中值定理得
首先考虑，当0≤a＜1时，
，相邻两项之差是同号的．
因此，当x 2 ＞x 1 时，{x n }单调递增；当x 2 ＜x 1 时，{x n }单调递减．所以{x n }都收敛．
当a=1时，x n+1 -x n =0，这是常数数列，当然收敛．
当a＞1时，
，相邻两项之差是异号的．此时，可再运用一次中值定理
这说明数列{x 2n-1 )和{x 2n }是单调的，因此它们都收敛．
若设
，它们分别由方程
确定，并且两个方程有相同的正根
由此可知
综上，当a＜0时，
不存在，当a≥0时，