设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f
''
(x)＞0，记μ
n
=f(n)，n=1，2，…，又μ
1
＜μ
2
，证明
【正确答案】正确答案：对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理μ
2
一μ
1
=f(2)一f(1)=f
'
(ξ
1
)＞0，1＜ξ
1
＜2， …… μ
n－1
一μ
n－2
=f(n一1)一f(n一2)=f
'
(ξ
n－2
)，n一2＜ξ
n－2
＜n一1， μ
n
一μ
n－1
=f(n)一f(n一1)=f
'
(ξ
n－1
)，n一1＜ξ
n－1
＜n。 因f
''
(x)＞0，故f
'
(x)严格单调增加，即有 f
'
(ξ
n－1
)＞f
'
(ξ
n－2
)＞…＞f
'
(ξ
2
)＞f
'
(ξ
1
)=μ
2
一μ
1
， 则 μ
n
=(μ
n
一μ
n－1
)+(μ
n－1
—μ
n－2
)+…+(μ
2
一μ
1
)+μ
1
=f
'
(ξ
n－1
)+f
'
(ξ
n－2
)+…+f
'
(ξ
1
)+μ
1
＞f
'
(ξ
1
)+f
'
(ξ
1
)+…+f
'
(ξ
1
)+μ
1
=(n一1)(μ
2
一μ
1
)+μ
1
， 于是有
【答案解析】