问答题
已知圆柱坐标系中的矢量A=ae
ρ
+be
φ
+ce
z
，式中a、b、c均为常数，A是常矢量吗?试求▽.A、▽×A以及A在相应的直角坐标系及球坐标系中的表达式。
【正确答案】正确答案：
即矢量A=ae
ρ
+be
φ
+ce
z
的模为常数。 将矢量A=ae
ρ
+be
φ
+ce
z
用直角坐标表示，有 A=ρcosφe
x
+ρsinφe
y
+e
z
=a(cosφe
x
+sinφe
y
)+b(一sinφe
x
+cosφe
y
)+ce
z
=(acosφ一bsinφ)e
x
+(asinφ+bcosφ)e
y
+ce
z
由此可见，矢量A的方向随φ变化，故矢量A不是常矢量。 由直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系，可求得：
又根据矢量在直角坐标与圆柱坐标系中的变换关系为
把上面结果代入，可求得
即在圆柱坐标系下的表达式为
由直角坐标系和球坐标系的变换关系，可求得：
又根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系为
把上面结果代入，可求得
即在球坐标系下的表达式为
即矢量A=ae
ρ
+be
φ
+ce
z
的模为常数。 将矢量A=ae
ρ
+be
φ
+ce
z
用直角坐标表示，有 A=ρcosφe
x
+ρsinφe
y
+e
z
=a(cosφe
x
+sinφe
y
)+b(一sinφe
x
+cosφe
y
)+ce
z
=(acosφ一bsinφ)e
x
+(asinφ+bcosφ)e
y
+ce
z
由此可见，矢量A的方向随φ变化，故矢量A不是常矢量。 由直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系，可求得：
又根据矢量在直角坐标与圆柱坐标系中的变换关系为
把上面结果代入，可求得
即在圆柱坐标系下的表达式为
由直角坐标系和球坐标系的变换关系，可求得：
又根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系为
把上面结果代入，可求得
即在球坐标系下的表达式为
【答案解析】