填空题
9.[2007年] 在区间(0，1)中随机地取两个数，则两个数之差的绝对值小于1／2的概率为________．
- 1、
【正确答案】
1、
【答案解析】解一 用几何型概率的计算公式求之．设(x，y)为所取的两个数，则样本空间为
Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}．
记区域A={(x，y)|(x，y)∈Ω，|x－y|＜1／2)，则A的图形如图3．1．2．1中阴影部分所示．这是因为由|x－y|＜1／2可得到
x－y＜1／2 及 －(x－y)＜1／2， 即 x－y＞－1／2．
而由命题3．1．2．1知，x－y＜1／2的图形是在直线x－y=1／2上方的图形，而x－y＞－1／2的图形是在直线x－y=－1／2下方的图形，两者的交即为图3．1．2．1中的阴影部分所示，则
SA(A的面积)=1－2×(1／2)(1－1／2)2=3／4．
显然SΩ=1，故所求概率为
解二 如图3．1．2．2所示，把区间[0，1]放在数轴上，设随机变量ξ，η分别表示任取两点的坐标，这里所说的“任取”表示“随机地取"，也表示“等可能地取”，因而ξ与η相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，即
因ξ与η相互独立，故(ξ，η)的密度为
因此，
易求得SD1=1／8=SD2，故
Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}．
记区域A={(x，y)|(x，y)∈Ω，|x－y|＜1／2)，则A的图形如图3．1．2．1中阴影部分所示．这是因为由|x－y|＜1／2可得到
x－y＜1／2 及 －(x－y)＜1／2， 即 x－y＞－1／2．
而由命题3．1．2．1知，x－y＜1／2的图形是在直线x－y=1／2上方的图形，而x－y＞－1／2的图形是在直线x－y=－1／2下方的图形，两者的交即为图3．1．2．1中的阴影部分所示，则
SA(A的面积)=1－2×(1／2)(1－1／2)2=3／4．
显然SΩ=1，故所求概率为
解二 如图3．1．2．2所示，把区间[0，1]放在数轴上，设随机变量ξ，η分别表示任取两点的坐标，这里所说的“任取”表示“随机地取"，也表示“等可能地取”，因而ξ与η相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，即
因ξ与η相互独立，故(ξ，η)的密度为
因此，
易求得SD1=1／8=SD2，故