(1)比较∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)
n
]dt与∫
0
1
t
n
｜lnt｜dt(n=1，2，…)的大小，说明理由．
(2)记u
n
=∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)]
n
dt(n=1，2，…)，求极限
【正确答案】正确答案：(1)令 f(t)=ln(1+t)一t． 当0≤t≤1时，f"(t)=
一1≤0，故当0≤t≤1时，f(t)≤f(0)=0， 即当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t≤1，从而[ln(1+t)]
n
≤t
n
(n=1，2，…)． 又由｜lnt｜≥0得 ∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)]
n
dz≤∫
0
1
t
n
｜lnt｜dt(n=1，2，…) (2)由(1)知，0≤u
n
=∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
1
t
n
｜lnt｜dt， 因为
一1≤0，故当0≤t≤1时，f(t)≤f(0)=0， 即当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t≤1，从而[ln(1+t)]
n
≤t
n
(n=1，2，…)． 又由｜lnt｜≥0得 ∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)]
n
dz≤∫
0
1
t
n
｜lnt｜dt(n=1，2，…) (2)由(1)知，0≤u
n
=∫
0
1
｜lnt｜[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
1
t
n
｜lnt｜dt， 因为
【答案解析】