【正确答案】利用夹逼准则证之．
证一 因∫₀¹∣lnt∣tⁿdt=一∫₀¹tⁿlnt=一∫₀¹lnt dtⁿ⁺¹
=一
则0＜u_n＜∫₀¹tⁿ∣lnt∣dt=由夹逼准则得到
0≤=0， 即u_n=0．
证二 由(Ⅰ)知，0≤u_n=I ∣lnt∣[ln(1+t)]ⁿdt≤(ln2)ⁿI ∣lnt∣dt．而反常积分
I ∣lnt∣dt收敛．事实上，有
∫₀¹∣lnt∣dt=一∫₀¹lnt dt=－tlnt∣₀¹+∫₀¹dt=0+1=1．
又∣ln2＜1，故lnⁿ2=0，由夹逼准则知u_n=0．
证三 由(I)知，0≤u_n=∫₀¹∣lnt∣[ln(1+t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ∣lnt∣dt
=一∫₀¹tⁿlntdt=一∫₀¹t^n-1(tlnt)dt．
又tlnt=0，故存在M＞0，使0≤t lnt≤M，t∈(0，1)．因而
0≤u_n≤∫₀¹tⁿ∣lnt∣dt=一∫₀¹t^n-1(tlnt)dt≤M∫₀¹t^n-1dt=→0(n→∞)
由夹逼准则知，