(方法一)所求直线记为l，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面系方程为3x-4y+z+k=0，又直线l过点(1，0，4)，代入求得k=-7，即直线l在平面3x-4y+z-7=0上。联立方程可求得直线与直线l的交点为(21，25，44)，因为直线l还经过点(1，0，4)，所以直线l的一个方向向量l=(4，5，8)，因此所求直线的方程为。

(方法二)设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π₁，所求直线l在π₁内，根据平行平面的关系易得，π₁的一般方程为3x-4y+z-7=0。

直线过点(-1，3，0)，且一个方向向量为s=(1，1，2)，又平面π₁的一个法向量为n=(3，-4，1)，因为sn≠0，所以直线与π₁相交，所以直线l与直线所确定的平面π₂与π₁相交，相交直线即为l。

平面π₂过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π₂上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π₂，即向量s，u，v共面，即有，所以π₂的一般方程为2x-z+2=0。

因此，所求直线l的一般方程为