单选题
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的
【正确答案】
A
【答案解析】[解析] 若
，则有可逆矩阵P使P
-1
AP=A或AP=PA令P=[γ
1
，γ
2
，…，γ
n
]，即有
从而有
Aγ i =α i γ i i=1，2，…，n
由P可逆，有γ i ≠0，且γ 1 ，γ 2 ，…，γ n 线性无关．按定义知γ 1 ，γ 2 ，…γ n 是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α 1 ，α 2 ，…，α n ，满足
Aα i =λ i α i ，i=1，2，…，n
那么，用分块矩阵有
，则有可逆矩阵P使P
-1
AP=A或AP=PA令P=[γ
1
，γ
2
，…，γ
n
]，即有
从而有
Aγ i =α i γ i i=1，2，…，n
由P可逆，有γ i ≠0，且γ 1 ，γ 2 ，…，γ n 线性无关．按定义知γ 1 ，γ 2 ，…γ n 是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α 1 ，α 2 ，…，α n ，满足
Aα i =λ i α i ，i=1，2，…，n
那么，用分块矩阵有