已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3
3
2
+2ax
2
x
3
(a＞0)通过正交变换化成标准形f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
，求参数a及所用的正交变换矩阵P．
【正确答案】正确答案：f的矩阵A=
，标准形的矩阵为D=
，因P
－1
AP=P
T
AP=D，知A的特征值为1，2，5，由1×2×5=|A|=2(9－a
2
)，
a=2．计算可得属于1，2，5的单位特征向量分别可取为
(0，1，－1)
T
，(1，0，0)
T
，
(0，1，1)
T
，于是所用正交变换的矩阵可取为
，标准形的矩阵为D=
，因P
－1
AP=P
T
AP=D，知A的特征值为1，2，5，由1×2×5=|A|=2(9－a
2
)，
a=2．计算可得属于1，2，5的单位特征向量分别可取为
(0，1，－1)
T
，(1，0，0)
T
，
(0，1，1)
T
，于是所用正交变换的矩阵可取为
【答案解析】