问答题
在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
【正确答案】正确答案：若将此曲线记为y=f(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y"≥0，故曲率K=
。 再由于过(x，f(x))点的法线方程为X一x+f'(x)[Y一f(x)]=0． 它与x轴交点Q的横坐标X
0
=x+f'(x)f(x)，所以，线段
的长度
这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为
y(1)=1，y'(1)=0． 解二阶方程的初值问题
得 y=
。 再由于过(x，f(x))点的法线方程为X一x+f'(x)[Y一f(x)]=0． 它与x轴交点Q的横坐标X
0
=x+f'(x)f(x)，所以，线段
的长度
这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为
y(1)=1，y'(1)=0． 解二阶方程的初值问题
得 y=
【答案解析】