问答题
设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足
【正确答案】正确答案：令
有F(0)=1，且 F'(x)=e
x
f(x)，f(x)=e
-x
F'(x)． 从而e
-x
F'(x)F(x)=x+1．这是关于F(x)的一个变量可分离的微分方程， 分离变量得 F(x)F'(x)=(x+1)e
x
， (*) 两边积分得 F
2
(x)=∫2(x+1)e
x
dx=2xe
x
+C． 因F(0)=1，所以C=1，从而得 F
2
(x)=2xe
x
+1． 以下证明：当x∈(一∞，+∞)时2xe
x
+1＞0．令φ(x)=2xe
x
+1，有 φ'(x)=2(x+1)e
x
， 令φ'(x)=0得唯一驻点x
0
=一1．当x＜一1时φ'(x)＜0，当x＞一1时φ'(x)＞0．故唯一驻点为φ(x)的最小值点，于是有φ(x)≥φ(一1)=一2e
-1
+1＞0． 从而
(开方取“+”原因是F(0)=1)，
所以
有F(0)=1，且 F'(x)=e
x
f(x)，f(x)=e
-x
F'(x)． 从而e
-x
F'(x)F(x)=x+1．这是关于F(x)的一个变量可分离的微分方程， 分离变量得 F(x)F'(x)=(x+1)e
x
， (*) 两边积分得 F
2
(x)=∫2(x+1)e
x
dx=2xe
x
+C． 因F(0)=1，所以C=1，从而得 F
2
(x)=2xe
x
+1． 以下证明：当x∈(一∞，+∞)时2xe
x
+1＞0．令φ(x)=2xe
x
+1，有 φ'(x)=2(x+1)e
x
， 令φ'(x)=0得唯一驻点x
0
=一1．当x＜一1时φ'(x)＜0，当x＞一1时φ'(x)＞0．故唯一驻点为φ(x)的最小值点，于是有φ(x)≥φ(一1)=一2e
-1
+1＞0． 从而
(开方取“+”原因是F(0)=1)，
所以
【答案解析】