问答题
设A为正定矩阵，证明A
*
也为正定矩阵．
【正确答案】
由题设，A为正定矩阵，故知A为实对称矩阵，且|A|＞0．从而A可逆，
(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
，
故A
-1
也为实对称矩阵．又A
*
=|A|A
-1
，|A|＞0，于是只要证A
-1
为正定矩阵即可．
设向量x≠0，记y=A
-1
x，由A
-1
满秩，知y≠0，于是
X
T
A
-1
x=(Ay)
T
t=y
T
A
T
y=y
T
Ay＞0，
故A
-1
为正定矩阵，从而A
*
也为正定矩阵．
【答案解析】
[分析] 欲证A
*
为正定矩阵，转化为证明A
-1
为正定矩阵．
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