解答题
14.A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明：
(1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1；
(2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．
(1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1；
(2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．
【正确答案】(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=｜A｜E。由于A为行阶非零实矩阵，即不全为0，所以tr(AAT)=
aij＞0．而tr(AAT)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0。在AAT=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n一2=1，｜A｜=1．
反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij．
(2)当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=一A*A=一｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以｜A｜=
aij＞0．而tr(AAT)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0。在AAT=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n一2=1，｜A｜=1．反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij．
(2)当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=一A*A=一｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以｜A｜=
【答案解析】