f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得
fˊ(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：因为fˊ(x)在[0，1]上连续，所以，fˊ(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x
1
，x
2
∈[0，1]，使fˊ(x
1
)=m，fˊ(x
2
)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)－f(0)=fˊ(η)x，于是有 fˊ(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)－f(0)=fˊ(η)x≤Mx=fˊ(x
2
)x， 积分得 fˊ(x
1
)∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f(x)dx≤fˊ(x
2
)∫
0
1
xdx， 即
fˊ(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤
fˊ(x
2
)，故fˊ(x
1
)≤2∫
0
1
f(x)dx≤fˊ(x
2
)． 因为fˊ(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
fˊ(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤
fˊ(x
2
)，故fˊ(x
1
)≤2∫
0
1
f(x)dx≤fˊ(x
2
)． 因为fˊ(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
【答案解析】