解答题
1.已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0，l2:bx+2cy+3a=0，l3:ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
l1:ax+2by+3c=0，l2:bx+2cy+3a=0，l3:ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】必要性 设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组
有惟一解，故其系数矩阵A=
的秩均为2，于是有|
|=0．
由于
=6(a+b+c)[a2+ b2+ c2一ab 一 ac 一bc]
=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]及 (a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0．
充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知
＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式
有惟一解，故其系数矩阵A=
的秩均为2，于是有||=0．由于
=6(a+b+c)[a2+ b2+ c2一ab 一 ac 一bc]
=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]及 (a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0．
充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知
＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式【答案解析】