【正确答案】正确答案：题设方程对应的特征方程为 r ² +4r+5=0， 特征根为r=-2±i， 从而对应齐次方程y""+4y"+5y=0的通解为 y(x)=e ^-2x (C ₁ cosx+C ₂ sinx)． 由非齐次项8cosx知±i不是特征根，故可设原方程的一个特解为y ^* =Acosx+Bsinx．将y ^* 代入原方程．比较系数得A=B=1，因此y ^* =cosx+sinx．于是，原方程的通解为 y=e ^-2x (C ₁ cosx+C ₂ sinx)+cosx+sinx． 当x→-∞时，e ^-2x →+∞，所以要使y有界，只有C ₁ =C ₂ =0．故所求的特解为y=cosx+sinx．