问答题
设函数
，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：
(Ⅰ)F
n
(x)在(0，+∞)存在唯一零点x
n
；
(Ⅱ)
(1+x
n
)收敛；
(Ⅲ)
，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：
(Ⅰ)F
n
(x)在(0，+∞)存在唯一零点x
n
；
(Ⅱ)
(1+x
n
)收敛；
(Ⅲ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)F
n
(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又
，故F
n
(x)在
存在零点，记为x
n
，则F
n
(x
n
)=0，又
，从而F
n
(x)在[0，+∞)单调上升，因此F
n
(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x
n
。 (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
，因
收敛，由比较原理知
收敛，又In(1+x
n
)～x
n
(n→∞)，故
(1+x
n
)收敛。 (Ⅲ)方法一：前面已导出
，从而
有
。又
，故
。 方法二：直接由
同样得
，故F
n
(x)在
存在零点，记为x
n
，则F
n
(x
n
)=0，又
，从而F
n
(x)在[0，+∞)单调上升，因此F
n
(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x
n
。 (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
，因
收敛，由比较原理知
收敛，又In(1+x
n
)～x
n
(n→∞)，故
(1+x
n
)收敛。 (Ⅲ)方法一：前面已导出
，从而
有
。又
，故
。 方法二：直接由
同样得
【答案解析】