问答题
设xOy平面的第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点A(0，
)，y'(x)＞0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段
的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
)，y'(x)＞0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
【正确答案】不显含x的二阶方程y"=f(y，y')的解法是作变量代换
，得到
，代入方程即可降阶求解．
(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程．
Y-y(x)=y'(x)(X-x)，
其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上截距
又弧段
的长度为
由题意得
①
这是积分、微分方程．两边对x求导，可化为二阶微分方程：
即
又由条件及式①，令x=0，得
，y'(0)=1．
因此初值问题为
②
问题①与②是等价的．
(Ⅱ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y'，并以y为自变量得
分离变量得到
两边积分得
于是
由
时p=1，得c'=0．于是
即
将上面两式相减，得
再积分得
③
将坐标点
代入式③求得
，得到，代入方程即可降阶求解．(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程．
Y-y(x)=y'(x)(X-x)，
其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上截距
又弧段
的长度为由题意得①这是积分、微分方程．两边对x求导，可化为二阶微分方程：
即又由条件及式①，令x=0，得
，y'(0)=1．因此初值问题为
②问题①与②是等价的．
(Ⅱ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y'，并以y为自变量得
分离变量得到
两边积分得
于是
由
时p=1，得c'=0．于是即将上面两式相减，得
再积分得
③将坐标点
代入式③求得【答案解析】