解答题
18.设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x-2y，x+3y)满足
【正确答案】
代入原方程，得
，或写成
接下来求z的一般表达式．将上式写成
，两边对u积分，v看成常数，得
，
其中φ1(v)为v的具有连续导数的任意函数．再将上式看成z对v的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得
由于φ1(v)的任意性，记
，它表示为v的具有二阶连续导数的任意函数，φ(u)为u的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到z=z(u，v)的一般表达式为
代入原方程，得
，或写成接下来求z的一般表达式．将上式写成
，两边对u积分，v看成常数，得，其中φ1(v)为v的具有连续导数的任意函数．再将上式看成z对v的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得
由于φ1(v)的任意性，记
，它表示为v的具有二阶连续导数的任意函数，φ(u)为u的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到z=z(u，v)的一般表达式为【答案解析】利用复合函数求导法依次求导并整理可得函数z=z(u，v)所满足的方程；然后通过对微分方程积分即可．