问答题
设二次型
满足
AB=O，其中
满足
AB=O，其中
问答题
用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设条件
故B的三个列向量都是AX=0的解向量，也是A的对应于λ=0的特征向量，其中
线性无关且正交，ξ
3
=
故λ=0至少是二重特征值．
又因
另一个是λ
3
=2，故λ
1
=λ
2
=0是二重特征值。因A是实对称阵，故对应λ
3
=2的特征向量应与ξ
1
，ξ
2
正交，设ξ
3
=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则有
得ξ
3
=[1，1，-2]
T
．
故存在正交变换X=QY，其中
使得
故B的三个列向量都是AX=0的解向量，也是A的对应于λ=0的特征向量，其中
线性无关且正交，ξ
3
=
故λ=0至少是二重特征值．
又因
另一个是λ
3
=2，故λ
1
=λ
2
=0是二重特征值。因A是实对称阵，故对应λ
3
=2的特征向量应与ξ
1
，ξ
2
正交，设ξ
3
=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则有
得ξ
3
=[1，1，-2]
T
．
故存在正交变换X=QY，其中
使得
问答题
求该二次型；
【正确答案】
【答案解析】[解] 先求二次型对应矩阵，因
故
故所求二次型为
求二次型的对应矩阵A，也可用AB=O，
故
故所求二次型为
求二次型的对应矩阵A，也可用AB=O，
问答题
f(x
1
，x
2
，x
3
)=1表示什么曲面?
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一 由标准形知
表示两个平行平面．
方法二 由上一小题得二次型
(x
1
+x
2
-2x
3
)
2
，若f(x
1
，x
2
，x
3
)=1，得(x
1
+x
2
-2x
3
)=
表示两个平行平面．
方法二 由上一小题得二次型
(x
1
+x
2
-2x
3
)
2
，若f(x
1
，x
2
，x
3
)=1，得(x
1
+x
2
-2x
3
)=