解答题过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．

问答题求D的面积A；

【正确答案】解：图形D如下图所示，设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0，lnx0)处的切线方程是由该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0=e，所以该切线的方程为平面图形D的面积

【答案解析】

问答题求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．

【正确答案】解：切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的曲边三角形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为因此所求旋转体体积为注：本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式，也可考虑用已知截面积S(y)=π(e-ey)2-(e-ey)2，0≤y≤1，然后用定积分进行计算

【答案解析】

问答题设积分区域D={(x，y)|x²+y²≤x+y}，计算二重积分

【正确答案】解：由于x2+y2≤x+y可改写为，令，，则可把区域D表示为，而且因为D1关于u=0或v=0都对称，而uv，，分别是关于u或关于v的奇函数，故在D1中作极坐标变换，即令u=rcosθ，v=rsinθ，就有综合即知

【答案解析】

问答题设总体X～N(0，σ²)，X₁，X₂是总体的一个样本，求

【正确答案】解：又 X1+X2～N(0，2σ2)，X1-X2～N(0，2σ2)，且易验证X1+X2与X1-X2相互独立．由统计量F的定义可知Y～F(1，1)．

【答案解析】

问答题已知4阶方阵A=[α₁，α₂，α₃，α₄]，α₁，α₂，α₃，α₄均为4维列向量，其中α₂，α₃，α₄线性无关，α₁=2α₂-α₃，如果β=α₁+α₂+α₃+α₄，求线性方程组AX=β的通解．

【正确答案】解：方法一由α1=2α2-α3及α2，α3，α4线性无关组知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3．且对应齐次方程组AX=0有通解k[1，-2，1，0]T，又β=α1，α2，α3，α4，即故非齐次方程组有特解η=[1，1，1，1]T，故方程组的通解为k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T．方法二故方程有两特解η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，3，0，1]T．对r(A)=3，故方程组的通解为 k(η1-η2)+η1=k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T．方法三由AX=[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4，得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4．将α1=2α2-α3代入，整理得 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0， α2，α3，α4线性无关，得解方程组，得

【答案解析】