【正确答案】证明：（1）对于一个由n个质点构成的质点系，采用笛卡尔坐标， 采用广义坐标，与原用的笛卡儿坐标的变换关系，对于小振动问题可写成 可得 其中是在平衡位置的值，故为常量、实数，是实对称矩阵，（1）式也可写成 对任意取的或写作x，都有 因A是实对称的，其本征值均为实数。 式（2）两边左乘， 因为，，因而。这就证明了A的本征值大于等于零。 我们不会遇到A有零本征值的情况，如A存在零本征值，则A对角化后写出的动能的平方和式子中少了一项广义速度平方项，则由拉格朗日方程，拉格朗日函数中既无这个广义速度，也无这个广义坐标，自由度数就不对了，这是不可能的，因而惯性矩阵是不会出现零本征值的。 （2）只要，就有存在。现在证明，实对称矩阵可作正交变换使之对角化。设使A对角化的正交变换矩阵为S，（I表示的单位矩阵）， 这里是一个对角矩阵， （A的本征值均大于零）。 （3）用变换引入新坐标，这里S是使A对角化的正交矩阵， A是实对称的， 与此类似，可得 因为A、B都是实对称矩阵，其中用了 是实对称矩阵，能被正交矩阵S对角化。所以，我们得到 其中Bj是对角化了的矩阵的对角元素，即 拉格朗日函数为 由拉格朗日方程得 因此Bi是系统的简正频率的平方。