解答题某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设b次测量结果X₁，X₂，…，X_n相互独立且均服从正态分布N(μ，σ²)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z_i=|X_i-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z₁，Z₂，…，Z_n估计σ．

问答题求Z_i的概率密度．

【正确答案】解：因为Xi～N(μ，σ2)，所以Yi=Xi-μ～N(0，σ2)，对应的概率密度为设Zi的分布函数为F(z)，对应的概率密度为f(z)．当z＜0时，F(z)=0；当z≥0时，则Zi的概率密度为

【答案解析】

问答题利用一阶矩求σ的矩估计量．

【正确答案】解：因为故σ的矩估计量为

【答案解析】

问答题求σ的最大似然估计量．

【正确答案】解：记Z1，Z2，…Zn的观测值为z1，z2，…，zn，当zi＞0(i=1，2，…，n)时，似然函数为两边取对数得，令解得故σ的最大似然估计量为

【答案解析】

问答题设B=2A-E．证明：B²=E的充分必要条件是A²=A．

【正确答案】证：因为B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，所以 4A2-4A+E=E4A2-4A=OA2=A．

【答案解析】

问答题求幂级数

【正确答案】解：由当|x|＜1时，幂级数收敛，且为绝对收敛；当x=±1时，级数为且都收敛，所以幂级数的收敛域为[-1，1]．综上所述，其中，当x=1时，级数为，是因为其中

【答案解析】

问答题已知齐次线性方程组

【正确答案】解：[解法一] 因为方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零公共解，即把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立所得方程组(Ⅲ)有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有方程组(Ⅲ)有非零解a=-1．求出η=(2，6，2，1)T是(Ⅲ)的基础解系，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是kη． [解法二] 对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，得所以方程组(Ⅰ)的基础解系是η1=(-1，2，1，0)T，η2=(4，2，0，1)T．那么，(Ⅰ)的通解是k1η1+k2η2=(-k1+4k2，2k1+2k2，k1，k2)T．将其代入(Ⅱ)，有整理为因为(Ⅰ)，(Ⅱ)有非零公共解，故k1，k2必不全为0．因此．从而a=-1，k1=2k2．那么k1η1+k2η2=k2(2，6，2，1)T，即(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是k(2，6，2，1)T．

【答案解析】

问答题若X～χ²(n)，证明：EX=n，DX=2n．

【正确答案】证：因X～χ2(n)，所以X可表示为其中X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从N(0，1)，于是

【答案解析】