问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=-2，且α
1
=(1，-1，1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量．记B=A
5
-4A
3
+E，其中E为3阶单位矩阵．
问答题
验证α
1
是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
【正确答案】
【答案解析】解 由Aα
1
=λ
1
α
1
，知
因而向量α 1 是B的属于特征值-2的一个特征向量．
因为A的所有特征值分别为λ 1 ，λ 2 ，λ 3 ，故B=A 5 -4A 3 +E的所有特征值分别为
因而向量α 1 是B的属于特征值-2的一个特征向量．
因为A的所有特征值分别为λ 1 ，λ 2 ，λ 3 ，故B=A 5 -4A 3 +E的所有特征值分别为
问答题
求矩阵B．
【正确答案】
【答案解析】解 将B的特征向量α
1
，α
2
，α
3
正交化、单位化后构成一正交矩阵Q．
令
则
于是
[解析] (1)在第一问求B的属于特征值1的特征向量α
2
，α
3
时，可以直接取成二者正交，这样就能回避下面的施密特正交化步骤．由x
1
-x
2
+x
3
=0，取α
2
=(1，1，0)
T
，此时再设α
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，且令
，得x
1
+x
2
=0，联立
令
则
于是
[解析] (1)在第一问求B的属于特征值1的特征向量α
2
，α
3
时，可以直接取成二者正交，这样就能回避下面的施密特正交化步骤．由x
1
-x
2
+x
3
=0，取α
2
=(1，1，0)
T
，此时再设α
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，且令
，得x
1
+x
2
=0，联立