解答题
12.求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。
【正确答案】(1)求f(x,y)在区域D边界上的最值，
在L1:y=0(0≤x≤6)上，z=0；
在L2:x=0(0≤y≤6)上，z=0；
在L3:y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2；
由
=6x2-24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(x,y)在L3上最小值为-64，最大值为0.
（2）在区域D内，由
得驻点为（2,1）
在L1:y=0(0≤x≤6)上，z=0；
在L2:x=0(0≤y≤6)上，z=0；
在L3:y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2；
由
=6x2-24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(x,y)在L3上最小值为-64，最大值为0.（2）在区域D内，由
得驻点为（2,1）【答案解析】