填空题
设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f"(0)=1，已知曲线积分
【正确答案】
【答案解析】
[考点] 曲线积分与路径无关的充要条件；二阶微分方程求解．
[解析] 由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到f(x)所满足的微分方程，再根据所给的初始条件求出f(x)．
解：曲线积分与路径无关
，故有
即[f"(x)-5f"(x)]cosy=[xe 2x -6f(x)]cosy，消去cosy，整理得f"-5f"+6f=xe 2x ，对应齐次方程的特征方程为r 2 -5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为Y=C 1 e 2x +C 2 e 3x ，由于λ=2是特征根，故设
，代入方程可求出
，于是方程的通解为
，再由f(0)=0及f"(0)=-1，可求出C
1
=C
2
=0，
因而所求函数为
．
故应填
[考点] 曲线积分与路径无关的充要条件；二阶微分方程求解．
[解析] 由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到f(x)所满足的微分方程，再根据所给的初始条件求出f(x)．
解：曲线积分与路径无关
，故有
即[f"(x)-5f"(x)]cosy=[xe 2x -6f(x)]cosy，消去cosy，整理得f"-5f"+6f=xe 2x ，对应齐次方程的特征方程为r 2 -5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为Y=C 1 e 2x +C 2 e 3x ，由于λ=2是特征根，故设
，代入方程可求出
，于是方程的通解为
，再由f(0)=0及f"(0)=-1，可求出C
1
=C
2
=0，
因而所求函数为
．
故应填