问答题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数均为0，设α=(1，2，-1)T且满足Aα=2α．
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换．
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)据已知条件，有
即
解出a
12
=2，a
13
=2，a
23
=-2，
所以x T Ax=4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -4x 2 x 3 ．
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4．
由(2E-A)x=0，
得λ=2的特征向量α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(1，0，1) T ；
由(-4E-A)x=0，
得λ=-4的特征向量α 3 =(-1，1，1) T ．
将α 1 ，α 2 正交化．令β 1 =α 1 ，则
再对β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，有
那么令
，有
即
解出a
12
=2，a
13
=2，a
23
=-2，
所以x T Ax=4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -4x 2 x 3 ．
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4．
由(2E-A)x=0，
得λ=2的特征向量α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(1，0，1) T ；
由(-4E-A)x=0，
得λ=-4的特征向量α 3 =(-1，1，1) T ．
将α 1 ，α 2 正交化．令β 1 =α 1 ，则
再对β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，有
那么令
，有