【答案解析】[证] 必要性．
   设B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，
   即(Bx)^TA(Bx)＞0，必有Bx≠0，即Bx=0只有零解．
   从而r(B)=n．
   充分性．
   因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵．    
   若r(B)=n，则方程组Bx=0只有零解．
   从而对任意实n维列向量x≠0有Bx≠0．
   因为A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，
   有(Bx)^TA(Bx)＞0．
   于是当x≠0时，x^T(B^TAB)x＞0，故B^TAB为正定矩阵．