解答题
问答题
叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；
【正确答案】
【答案解析】[解]罗尔定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a，b)使f'(ξ)=0．
证明：由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m．
①如果M=m，则f(x)≡C，从而f'(x)≡0，任取ξ∈(a，b)均有f'(ξ)=0．
②如果M＞m，由于f(a)=f(b)，所以M或m中至少有1个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)．由费马定理知，在对应点x=ξ∈(a，b)处，f'(ξ)=0．
证明：由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m．
①如果M=m，则f(x)≡C，从而f'(x)≡0，任取ξ∈(a，b)均有f'(ξ)=0．
②如果M＞m，由于f(a)=f(b)，所以M或m中至少有1个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)．由费马定理知，在对应点x=ξ∈(a，b)处，f'(ξ)=0．
问答题
叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理．
【正确答案】
【答案解析】[解]拉格朗日微分中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)．
证明：令
则有φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，
所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)，使φ'(ξ)=0．即
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)．
证明：令
则有φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，
所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)，使φ'(ξ)=0．即