【正确答案】因为r(A)=r＜n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ₁,ξ₂,...,ξ_n-r.
设η₀为方程组AX=b的一个特解，
令Β₀=η₀,Β₁=ξ₁+η₀,Β₂=ξ₂+η₀...,Β_n-r=ξ_n-r+η₀,显然Β₀，Β₁，Β₂，Β_n-r为方程组AX=b的一组解。
令k₀Β₀+k₁Β₁+...+k_n-rΒ_n-r=0,即
（k₀+k₁+...+k_n-r）η₀+k₁ξ₁+k₂ξ₂+...+k_n-rξ_n-r=0,
上式两边左乘A得（k₀+k₁+...+k_n-r)b=0,
因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+...+k_n-r=0,于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+...+k_n-rξ_n-r=0,注意到ξ₁,ξ₂,...,ξ_n-r线性无关，所以k₁=k₂=...=k_n-r=0，故Β₀，Β₁，Β₂，...，Β_n-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组，设Β₁，Β₂，...，Β_n-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，
令γ₁=Β₂-Β₁,γ₂=Β₃-Β₁,...,γ_n-r+1=Β_n-r+2-Β₁,根据定义，易证γ₁，γ₂，...，γ_n-r+1线性无关，又γ₁，γ₂，...，γ_n-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个。