解答题
2.[2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny－x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．
【正确答案】解一 在所给方程两边对x求导，得到y'lny+2y'－1=0，解得
y'－1／(lny+2)．
再在上式两边对x求导，得到
将x=1，y=1代入上式，得到y"｜x=1,y=1=－1／8．
由于二阶导数y"在x=1附近是连续函数，且由y"=－1／8＜0知，在x=1附近有y"＜0，故曲线y=f(x)在点(1，1)附近为凸性．
解二 由所给方程易解出x=y+ylny，则
由
得
y'－1／(lny+2)．
再在上式两边对x求导，得到
将x=1，y=1代入上式，得到y"｜x=1,y=1=－1／8．
由于二阶导数y"在x=1附近是连续函数，且由y"=－1／8＜0知，在x=1附近有y"＜0，故曲线y=f(x)在点(1，1)附近为凸性．
解二 由所给方程易解出x=y+ylny，则
由
得【答案解析】