解答题
13.[2006年] 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，向量α1=[一1，2，一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次方程组AX=0的解．
(1)求A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
(1)求A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
【正确答案】认真分析题设条件，在A未知的情况下也能求出其特征值和特征向量．在此基础上将所求得的特征向量正交化，单位化即得Q．
(1)由题设有A[1，1，1]T=[3，3，3]T=3[1，1，1]T，则λ0=3为A的特征值，α0=[1，1，1]T为A的属于λ0=3的特征向量(见命题2．5．1．4)，于是A的属于特征值3的所有特征向量为k0α0(λ0为非零的任意常数)．
又α1，α2为AX=0的非零解向量，故Aα1=0=0·α1，因而α1为A的属于特征值λ1=0的特征向量．同法可知，α2也是A的属于特征λ2=0的特征向量．因α1，α2线性无关，故A的属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不全为零)．
(2)因0为A的二重特征值．现将属于多重特征值的特征向量α1，α2正交化(因α1，α2不正交)，使用施密特正交化的方法，得到
β1=α1， β2=α2一
则β1，β2正交．显然α0与β1，β2都正交，因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量．
下面将α0，β1，β2单位化，得到
(1)由题设有A[1，1，1]T=[3，3，3]T=3[1，1，1]T，则λ0=3为A的特征值，α0=[1，1，1]T为A的属于λ0=3的特征向量(见命题2．5．1．4)，于是A的属于特征值3的所有特征向量为k0α0(λ0为非零的任意常数)．
又α1，α2为AX=0的非零解向量，故Aα1=0=0·α1，因而α1为A的属于特征值λ1=0的特征向量．同法可知，α2也是A的属于特征λ2=0的特征向量．因α1，α2线性无关，故A的属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不全为零)．
(2)因0为A的二重特征值．现将属于多重特征值的特征向量α1，α2正交化(因α1，α2不正交)，使用施密特正交化的方法，得到
β1=α1， β2=α2一
则β1，β2正交．显然α0与β1，β2都正交，因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量．
下面将α0，β1，β2单位化，得到
【答案解析】