某消费者的偏好由以下效用函数描述： u（x1 ， x2 ） ＝（lnx1 ＋2lnx2 ） /3， 其中 lnx 是 x 的自然对数。 商品 1 和商品 2 的价格分别为 p1 、 p2 ， 消费者的收入为 m。 要求：
写出消费者的最大化问题；
消费者效用最大化问题可以表述成：
求出需求函数 x1 （p1 ， p2 ， m）， x2（p1 ， p2 ， m）；
由上面的最优化条件可以构造拉格朗日函数： L＝（ lnx1 ＋2lnx2 ） /3＋λ（m－p1 x 1 －p2 x2 ）。 分别对 x1 、x2 、 λ 求偏导并令导数为 0 就可以求出效用最大化的一阶条件：
进而可以求得需求函数为：
设 p1 ＝p2 ＝1， 画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线， 该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家习惯上把收入作为纵坐标）；
当 p1 ＝p2 ＝1 时， x1 ＝m/3， x2 ＝2m/3。 恩格尔曲线如图 4-2 所示。
设 m＝10， p2 ＝5， 画出商品 1 的需求曲线， 该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家习惯上把价格作为纵坐标）；
设当 m＝10， p2 ＝5 时， x1 ＝10/（3p1 ）， 商品 1 的需求曲线如图 4-3 所示。
判断商品 1 和商品 2 是互补品还是替代品， 是正常商品还是吉芬品。
由前面的计算可知： x1 （p1 ， p2 ， m） ＝m/（3p1 ）， x2 （p1 ， p2 ， m） ＝2m/（3p2 ）。 可见， 商品 1 和商品 2 的需求只取决于商品自身的价格和消费者的收入水平， 而与另一种商品的价格无关， 两种商品是无关联商品。另外， 两种商品的需求都是消费者收入的增函数和自身价格的减函数， 所以两种商品都是正常商品， 其需求符合需求法则。