设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动．求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．
【正确答案】正确答案：用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T＝X＋Y， 由已知条件得X，Y的密度为f
X
(x)＝
当t≤0时，F
T
(t)＝0；当t＞0时， F
T
(t)＝P(X＋Y≤t)＝
f(x，y)dxdy＝
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy ＝25∫
0
t
e
－5x
dx∫
0
t－x
e
－5y
dy＝5∫
0
t
e
－5x
[1－e
－5(t－x)
]dx ＝5∫
0
t
(e
－5x
－e
－5t
)dx＝(1－e
－5t
)－5te
－5t
T的密度函数为f(t)＝
当t≤0时，F
T
(t)＝0；当t＞0时， F
T
(t)＝P(X＋Y≤t)＝
f(x，y)dxdy＝
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy ＝25∫
0
t
e
－5x
dx∫
0
t－x
e
－5y
dy＝5∫
0
t
e
－5x
[1－e
－5(t－x)
]dx ＝5∫
0
t
(e
－5x
－e
－5t
)dx＝(1－e
－5t
)－5te
－5t
T的密度函数为f(t)＝
【答案解析】