问答题
设幂级数
a
n
(x－b)
n
在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数
a
n
x
n
的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数
a
n
(x－b)
n
在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数
a
n
x
n
的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数
【正确答案】正确答案：令t=x－b，收敛中心x
0
=b的幂级数
a
n
(x－b)
n
化为收敛中心t
0
=0的幂级数
a
n
t
n
．根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为
a
n
(x－b)
n
在x=0处收敛，所以
a
n
t
n
在t=－b处收敛，从而当｜t｜＜｜－b｜=｜b｜时，幂级数
a
n
t
n
绝对收敛． 由于
a
n
(x－b)
n
在x=2b处发散，故
a
n
t
n
在t=b处发散，进而当｜t｜＞｜b｜时，幂级数
a
n
t
n
发散． 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知
a
n
x
n
的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为[－｜b｜，｜b｜)． 又因为幂级数
a
n
(x－b)
n
化为收敛中心t
0
=0的幂级数
a
n
t
n
．根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为
a
n
(x－b)
n
在x=0处收敛，所以
a
n
t
n
在t=－b处收敛，从而当｜t｜＜｜－b｜=｜b｜时，幂级数
a
n
t
n
绝对收敛． 由于
a
n
(x－b)
n
在x=2b处发散，故
a
n
t
n
在t=b处发散，进而当｜t｜＞｜b｜时，幂级数
a
n
t
n
发散． 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知
a
n
x
n
的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为[－｜b｜，｜b｜)． 又因为幂级数
【答案解析】