【正确答案】 C

【答案解析】 由于2003是奇数，所以a²，b中必定为一个偶数和一个奇数．
   ①a²为偶数，则a=2，b=1999，满足条件，此时a+b=2001.
   ②b为偶数，则b=2，a²=2001，但2001不是完全平方数．
   综上所述，答案选择C．