已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1－a)x
1
2
+(1－a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2．
问答题
求a的值；
【正确答案】正确答案：由于二次型f的秩为2，即对应的矩阵
【答案解析】
问答题
求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形；
【正确答案】正确答案：当a=0时，A=
计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0．解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1，1，0)
T
，η
2
=(0，0，1)
T
解齐次线性方程组(0E－A)x=0，得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(－1，1，0)
T
易见η
1
，η
2
，η
3
两两正交．将η
1
，η
2
，η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 e
1
=
(1，1，0)
T
，e
2
=(0，0，1)
T
，e
3
=
计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0．解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1，1，0)
T
，η
2
=(0，0，1)
T
解齐次线性方程组(0E－A)x=0，得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(－1，1，0)
T
易见η
1
，η
2
，η
3
两两正交．将η
1
，η
2
，η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 e
1
=
(1，1，0)
T
，e
2
=(0，0，1)
T
，e
3
=
【答案解析】
问答题
求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
【正确答案】正确答案：1 在正交变换x=Qy下，f(x
1
，x
2
，x
3
)=0化成2y
1
2
+2y
2
2
=0，解之得y
1
=y
2
=0，从而
=y
3
e
3
=k(－1，1，0)
T
，其中k为任意常数． 2 由于f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，所以
=y
3
e
3
=k(－1，1，0)
T
，其中k为任意常数． 2 由于f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，所以
【答案解析】