解答题
设向量组(i)α1=(2，4，-2)T，α2=(-1，a-3，1)T，α3=(2，8，b-1)T；
(ii)β1=(2，b+5，-2)T，β2=(3，7，a-4)T，β3=(1，2b+4，-1)T．
记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．
问：(Ⅰ)a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．
(ii)β1=(2，b+5，-2)T，β2=(3，7，a-4)T，β3=(1，2b+4，-1)T．
记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．
问：(Ⅰ)a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)A等价于B
r(A)=r(B)．将A，B合并，作初等行变换，有
当a≠1且b≠-1时，r(A)=r(B)=3，A等价于B；
当a=1或b=-1时，r(A)=r(B)=2，A等价于B．所以无论a，b为何值均有A和B等价．
(Ⅱ)(i)等价于(ii)
向量组可以相互表出
(α1，α2，α3)x=βi，(β1，β2，β3)y=αi(i=1，2，3)均有解
．
由(Ⅰ)知，
a≠1，b≠-1时，
，(i)等价于(ii)；
a=1，b=-1时，
，(i)等价于(ii)；
a=1，b≠-1时，
，(β1，β2，β3)y=α3无解，(i)，(ii)不等价；
a≠1，b=-1时，
r(A)=r(B)．将A，B合并，作初等行变换，有当a≠1且b≠-1时，r(A)=r(B)=3，A等价于B；
当a=1或b=-1时，r(A)=r(B)=2，A等价于B．所以无论a，b为何值均有A和B等价．
(Ⅱ)(i)等价于(ii)
向量组可以相互表出(α1，α2，α3)x=βi，(β1，β2，β3)y=αi(i=1，2，3)均有解．由(Ⅰ)知，
a≠1，b≠-1时，
，(i)等价于(ii)；a=1，b=-1时，
，(i)等价于(ii)；a=1，b≠-1时，
，(β1，β2，β3)y=α3无解，(i)，(ii)不等价；a≠1，b=-1时，