问答题
设k为参数，试确定方程x
2
+4x+1=ke
x
的根的个数以及每个根所在的区间．
【正确答案】
【答案解析】解：转化为函数方程F(x)=(x
2
+4x+1)e
-x
=k，为此需讨论函数F(x)的增减性，极值与值域．
由F"(x)=(2x+4-x 2 -4x-1)e -x =(3-2x-x 2 )e -x =(3+x)(1-x)e -x 可知，函数F(x)有两个驻点x=-3与x=1，结合
可列表讨论F(x)的单调性与极值如下：
函数F(x)的示意图如图所示．
由此可得结论：
(1)当
时直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有一个交点，其横坐标x
1
＜-3，即当k＞
时方程x
2
+4x+1=ke
x
有唯一根，此根位于区间(-∞，-3)内．
(2)当
时，直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有两个交点，一个交点的横坐标x
1
＜-3，而另一个交点的横坐标x
2
=1，即当
时，方程x
2
+4x+1=ke
x
有两个根，一个位于区间(-∞，-3)内，另一个是x
2
=1．
(3)当0＜k＜
时，直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有三个交点，其横坐标分别为x
1
＜-3，-3＜x
2
＜1，x
3
＞1，即当0＜k＜
由F"(x)=(2x+4-x 2 -4x-1)e -x =(3-2x-x 2 )e -x =(3+x)(1-x)e -x 可知，函数F(x)有两个驻点x=-3与x=1，结合
可列表讨论F(x)的单调性与极值如下：
| x | (-∞，-3) | -3 | (-3，1) | 1 | (1，+∞) |
| F"(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| F(x) | 从+∞单调减少 | -2e 3 | 单调增加 |
|
单调减少且趋于0 |
由此可得结论：
(1)当
时直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有一个交点，其横坐标x
1
＜-3，即当k＞
时方程x
2
+4x+1=ke
x
有唯一根，此根位于区间(-∞，-3)内．
(2)当
时，直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有两个交点，一个交点的横坐标x
1
＜-3，而另一个交点的横坐标x
2
=1，即当
时，方程x
2
+4x+1=ke
x
有两个根，一个位于区间(-∞，-3)内，另一个是x
2
=1．
(3)当0＜k＜
时，直线y=k与曲线y=(x
2
+4x+1)e
-x
有三个交点，其横坐标分别为x
1
＜-3，-3＜x
2
＜1，x
3
＞1，即当0＜k＜