单选题
设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(x一t)dt，则F(x)是
【正确答案】
C
【答案解析】解析：对被积函数作变量替换u=x一t，就有 F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(x—t)dt=∫
0
x
(x一2u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du一2∫
0
x
uf(u)du． 由于f(x)为奇函数，故∫
0
x
f(u)du为偶函数，于是x∫
0
x
f(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而∫
0
x
uf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又 F'(x)=∫
0
x
f(u)du+xf(x)一2xf(x)=∫
0
x
f(u)du一xf(x)， 由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫
0
x
f(u)du=xf(ξ)．从而F'(x)=x[f(ξ)一f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F'(x)＜0，从而应选C． 其实，由F'(x)=∫
0
x
f(u)du一xf(x)=∫
0
x
[f(u)一f(x)]du及f(x)单调增加也可得F'(x)＜0．