设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X
1
，…，X
n
是取自总体X的一个简单随机样本．
(Ⅰ)求θ的矩估计量
；
(Ⅱ)
是否为θ的无偏估计量，为什么?
(Ⅲ)求θ的最大似然估计量
；
(Ⅳ)
；
(Ⅱ)
是否为θ的无偏估计量，为什么?
(Ⅲ)求θ的最大似然估计量
；
(Ⅳ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)记EX＝μ，则μ＝EX＝θ／2，即θ＝2μ．故θ的矩估计量
． (Ⅱ)由于
＝2EX＝2μ＝θ，因此
是θ的无偏估计量． (Ⅲ)对于总体X的样本值χ
1
，…，χ
n
，似然函数
当θ＜max(χ
1
，…，χ
n
)时，L＝0． 当0≥max(χ
1
，…，χ
n
)，L＝
是θ的单调减函数，因此当θ＝max(χ
1
，…，χ
n
)时，L达到最大值．故θ的最大似然估计量
＝max(X
1
，…，X
n
)． (Ⅳ)为求
的期望值，需先求
的分布． 因总体X服从[0，θ]上均匀分布，因此X
i
(i＝1，…，n)都服从[0，θ]上均匀分布，其分布函数为
概率密度为
的分布函数记为G(χ)，概率密度记为g(χ)，则 当χ＜0时，G(χ)＝0；当χ＞0时，G(χ)＝1；当0≤χ≤0时， G(χ)＝P{
≤χ}＝P{max(X
1
，…，X
n
)≤χ}＝P{
(X
i
≤χ)}． 由于X
1
，…，X
n
相互独立，于是有
计算得出
． (Ⅱ)由于
＝2EX＝2μ＝θ，因此
是θ的无偏估计量． (Ⅲ)对于总体X的样本值χ
1
，…，χ
n
，似然函数
当θ＜max(χ
1
，…，χ
n
)时，L＝0． 当0≥max(χ
1
，…，χ
n
)，L＝
是θ的单调减函数，因此当θ＝max(χ
1
，…，χ
n
)时，L达到最大值．故θ的最大似然估计量
＝max(X
1
，…，X
n
)． (Ⅳ)为求
的期望值，需先求
的分布． 因总体X服从[0，θ]上均匀分布，因此X
i
(i＝1，…，n)都服从[0，θ]上均匀分布，其分布函数为
概率密度为
的分布函数记为G(χ)，概率密度记为g(χ)，则 当χ＜0时，G(χ)＝0；当χ＞0时，G(χ)＝1；当0≤χ≤0时， G(χ)＝P{
≤χ}＝P{max(X
1
，…，X
n
)≤χ}＝P{
(X
i
≤χ)}． 由于X
1
，…，X
n
相互独立，于是有
计算得出
【答案解析】