问答题
设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-r
．
设η 0 为方程组AX=b的一个特解，
令β 0 =η 0 ，β 1 =ξ 1 +η 0 ，β 2 =ξ 2 +η 0 …，β n-r =ξ n-r +η 0 ，显然β 0 ，β 1 ，β 2 ，…，β n-r 为方程组AX=b的一组解．
令k 0 β 0 +k 1 β 1 +…+k n-r β n-r =0，即
(k 0 +k 1 +…+k n-r )η 0 +k 1 β 1 +k 2 β 2 +…+k n-r β n-r =0，
上式两边左乘A得(k 0 +k 1 +…+k n-r )b=0，
因为b为非零列向量，所以k 0 +k 1 +…+k n-r =0，于是
k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r ξ n-r =0，
注意到ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 线性无关，所以k 1 =k 2 =…=k n-r =0，
故β 0 ，ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r+2 为方程组AX=b的一组线性无关解，
令γ 1 =β 2 -β 1 ，γ 2 =β 3 -β 1 ，…，γ n-r+1 =β n-r+2 -β 1 ，根据定义，易证γ 1 ，γ 2 ，…，γ n-r+1 线性无关，又γ 1 ，γ 2 ，…，γ n-r+1 为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．
设η 0 为方程组AX=b的一个特解，
令β 0 =η 0 ，β 1 =ξ 1 +η 0 ，β 2 =ξ 2 +η 0 …，β n-r =ξ n-r +η 0 ，显然β 0 ，β 1 ，β 2 ，…，β n-r 为方程组AX=b的一组解．
令k 0 β 0 +k 1 β 1 +…+k n-r β n-r =0，即
(k 0 +k 1 +…+k n-r )η 0 +k 1 β 1 +k 2 β 2 +…+k n-r β n-r =0，
上式两边左乘A得(k 0 +k 1 +…+k n-r )b=0，
因为b为非零列向量，所以k 0 +k 1 +…+k n-r =0，于是
k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r ξ n-r =0，
注意到ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 线性无关，所以k 1 =k 2 =…=k n-r =0，
故β 0 ，ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r+2 为方程组AX=b的一组线性无关解，
令γ 1 =β 2 -β 1 ，γ 2 =β 3 -β 1 ，…，γ n-r+1 =β n-r+2 -β 1 ，根据定义，易证γ 1 ，γ 2 ，…，γ n-r+1 线性无关，又γ 1 ，γ 2 ，…，γ n-r+1 为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．