解答题
设函数y=f(x)存在二阶导数，且f'(x)≠0．
(Ⅰ)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
；
(Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为
，在此曲线上任意点处的f'(x)≠0．
(Ⅰ)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
；(Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为
，在此曲线上任意点处的f'(x)≠0．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)由反函数的导数公式，有
(Ⅱ)将(Ⅰ)中求得的
代入所给微分方程(*)式中，得
化简即得
将(**)式中x看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常办法解之，得
再由条件：x=1时y=0，
代入上式得
解得
(Ⅱ)将(Ⅰ)中求得的
代入所给微分方程(*)式中，得化简即得
将(**)式中x看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常办法解之，得
再由条件：x=1时y=0，
代入上式得解得