问答题
问答题
证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈[a，b]，使[*]=f(ξ)(b-a)；
【正确答案】设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有
．
不等式两边同除以(b-a)，得到
．
显然
是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的，
根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值和
相等，即
，
等式两边同乘以(b-a)可得
．不等式两边同除以(b-a)，得到
．显然
是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的，根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值和
相等，即，等式两边同乘以(b-a)可得
【答案解析】
问答题
若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，[*]，证明至少存在一点ζ∈(1，3)，使得φ"(ζ)＜0．
【正确答案】由积分中值定理可得，至少存在一点η∈(2，3)，使得
．
又
，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．
因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，
使得
；且至少存在一点ξ2∈(2，η)，
使得
．再由拉格朗日微分中值定理可知，
至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得
．又
，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，
使得
；且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得
．再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得
【答案解析】[考点] 积分中值定理