解答题
5.设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f''(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f'(x)在(-∞，+∞)内有界．
【正确答案】存在正常数M0，M2，使得对
x∈(-∞，+∞)，恒有
｜f(x)｜≤M0，｜f''(x)｜≤M2．
由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f'(x)+
f''(ξ)，
其中ξ介于x与x+1之间，整理得f'(x)=f(x+1)-f(x)-
f''(ξ)，
所以 ｜f'(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
x∈(-∞，+∞)，恒有｜f(x)｜≤M0，｜f''(x)｜≤M2．
由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f'(x)+
f''(ξ)，其中ξ介于x与x+1之间，整理得f'(x)=f(x+1)-f(x)-
f''(ξ)，所以 ｜f'(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
【答案解析】