问答题 3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,一2,α 1 =(1,一1,1) T 是A的属于1的特征向量.记B=A 5 一4A 3 +E. (1)求B的特征值和特征向量. (2)求B.
【正确答案】正确答案:(1)记f(x)=x 5 一4x 3 +1,则B的特征值为f(1)=一2,f(2)=1,f(一2)=1. α 1 =(1,一1,1) T 是A的属于1的特征向量,则它也是B的特征向量,特征值一2. B的属于一2的特征向量为cα 1 ,c≠0. B也是实对称矩阵,因此B的属于特征值1的特征向量是与α 1 正交的非零向量,即是x 1 一x 2 +x 3 =0的非零解.求出此方程的基础解系α 2 =(1,1,0) T ,α 3 =(0,1,1) T ,B的属于特征值1的特征向量为 c 1 α 2 +c 2 α 3 ,c 1 ,c 2 不全为0. (2)B(α 1 ,α 2 ,α 3 )=(一2α 1 ,α 2 ,α 3 ).解此矩阵方程得
【答案解析】