【答案解析】[证明] 令F(x)=xe ^2x f(x)，则由题设知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e ² f(1)=0，即F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F"(ξ)=(e ^2ξ +2ξe ^2ξ )f(ξ)+ξe ^2ξ f"(ξ)=e ^2ξ [(2ξ+1)f(ξ)+ξf"(ξ)]=0，从而
(2ξ+1)f(ξ)+ξf"(ξ)=0． [解析] 因ξ∈(0，1)，故(2ξ+1)f(ξ)+ξf"(ξ)=0

，其中p(x)＞0， x∈(0，1)．
若函数p(x)还满足 当x∈(0，1)时成立，则要证的结论 [p(x)f(x)]"在(0，1)内有零点．
这启发我们考虑辅助函数F(x)=p(x)f(x)，其中p(x)当x∈(0，1)时满足