从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．
【正确答案】正确答案：取沉放点为坐标原点O，Oy轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得
=mg-ρV-kv． 由于v=
，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法，可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意
，所以应将方程改写为
直接求积分，则有
再由题设，其初始条件应为v｜
y=0
=0，由此可定出C=
，故所求的关系
=mg-ρV-kv． 由于v=
，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法，可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意
，所以应将方程改写为
直接求积分，则有
再由题设，其初始条件应为v｜
y=0
=0，由此可定出C=
，故所求的关系
【答案解析】