问答题
设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足
f(x)[∫
0
x
e
t
f(t)dt+1]=x+1．
求f(x)的表达式，并证明所得到的f(x)的确在(一∞，+∞)上连续．
【正确答案】正确答案：化成常微分方程处理．为此，令 F(x)=∫
0
x
e
t
f(t)dt+1， 有F'(x)=e
x
f(x)，f(x)=e
-x
F’(x)．代入原给方程，得 e
-x
F’(x)F(x)=x+1， F'(x)F(x)=(x+1)e
x
，
两边积分，得
因F(0)=∫
0
0
e
t
f(t)dt+1=1，所以
故 F
2
(x)=2xe
x
+1，F(x)=
但因F(0)=1＞0，所以取“+”，于是
下面证明，在区间(一∞，+∞)上，函数φ(x)=2xe
x
+1＞0． 事实上，φ’(x)=2(x+1)e
x
，令φ'(x)=0，得x=一1．当x＜一1时，φ’(x)＜0；当x＞一1时，φ’(x)＞0，所以φ
min
=φ(一1)=1—2e
-1
=
两边积分，得
因F(0)=∫
0
0
e
t
f(t)dt+1=1，所以
故 F
2
(x)=2xe
x
+1，F(x)=
但因F(0)=1＞0，所以取“+”，于是
下面证明，在区间(一∞，+∞)上，函数φ(x)=2xe
x
+1＞0． 事实上，φ’(x)=2(x+1)e
x
，令φ'(x)=0，得x=一1．当x＜一1时，φ’(x)＜0；当x＞一1时，φ’(x)＞0，所以φ
min
=φ(一1)=1—2e
-1
=
【答案解析】