填空题
(Ⅰ)设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos
2
x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)= 1；
(Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫
0
1
xf(x)dx，则f(x)= 2．
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：(Ⅰ)一2sinx； (Ⅱ)x+
【答案解析】解析：(Ⅰ)按题意F(x)=∫
0
x
f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos
2
x+C)'=一2sinxcosx， 从而f(x)=一2cosx，于是 F(x)=∫
0
x
f(t)dt=∫
0
x
一2costdt=一2sinx． (Ⅱ)定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知 可令∫
0
1
xf(x)dx=A，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两端同乘x并从0到1求定积分，就有
